（－）×（－）＝（＋）

　　（－）×（－）＝（＋）　　「負の数×負の数＝正の数」

みなさんは中学校の数学の授業でこれを教わったときに、本当に納得したでしょうか？
おそらく大半の人は、それで事はうまく解決するし点数をもらえるからと、とりあえず受け入れるものの、腑に落ちないまま学生時代を過ごし、今もそうなのではないでしょうか？
では、今日納得してもらいます。
スッキリさせていただきます。

私はと言いますと、
「マイナスの数を掛けることは、反対方向に何倍という意味だから、それにまたマイナスの数を掛ければ、もとの方向になるに決まっているから」
と、何の抵抗もなく受け入れたので、腑に落ちないなどということはありませんでしたが、あいにく、納得できない人たちに説明することは出来ませんでした。

しかし、数学を教える仕事に就いている今、そうは言っていられません。
いつだったか、ある私立学校の講師採用の面接で、
「これをどう説明されていますか？」
と聞かれ、唐突だったので、
「教科書にありますからそれを使います」
などと言ってしまい、面接官を満足させられなかったことが悔しくて、その後、自分なりに、人に納得させる説明を考案しました。

まず、引き算（減法）というものを、「視点の移動」と捉えました。
たとえば、「Ａ－Ｂ」をどう表現するかというと、
　　「Ｂから見たＡ」
というふうに、引く数に視点を置いてそこから引かれる数を見ると幾つなのか、という思考法です。（高校の数学のベクトルの差の定義そのものです）
言ってみれば、これは、大きいものから小さいものを引くという人間的・日常的な「引き算」と反対方向に足すという機械的な「負の数の和」の中庸をとったものです。
（ぜひ紙とペンをご用意ください。数直線などの図を描いて視覚的にとらえて納得してください）

そうすると、具体的に、たとえば、
　　５－３＝２　【３から見た５は２】
　　４－７＝－３　【７から見た４は－３】
この時点で、「小さいものから大きいものを引くこと」が理解できるはずです。

さらに、
　　１－（－２）＝３　【－２から見た１】
のように、「負の数を引くこと」も容易にわかると思います。

そこで肝腎な「負の数×負の数」ですが、今の「負の数を引くこと」から理解が導けます。

そもそも、正の数とは、たとえば、５ならば、
　　５＝５－０　　【０から見た５】
負の数とは、たとえば、－７ならば、
　　－７＝－７－０　　【０から見たー７】
というように、当たり前ですが、０を視点として見た数です。
そう考えれば、－１を掛ける（正の数を負の数にする）とは、たとえば、－８（８に－１を掛ける）ならば、
　　－８＝０－８　　【８から見た０】
というように、（－）を除いた数から０を見た数ということになります。

そして、ここがいちばん重要です。
つまり、－１を掛けるとは、『先頭の０を省略した引き算』だと考えられるということです。

ということは、－８にさらに－１を掛けたもの、すなわち、－（－８）は、
　　－（－８）＝０－（－８）　【－８から見た０】
というように、視覚的に理解が得られるわけであり、
　　－（－８）＝８　　　
だということ（負の数を正の数にする）がわかります。
　　　（－）×（－）＝（＋）　　　「負の数×負の数＝正の数」
であることが腑に落ちたでしょうか？

先日、勤めている学校の職員室で、ある若い社会科の先生がこのことについて、「未だに納得がいかない」と、ある若い数学の先生に訴えていたのを聞いて、
「わたし、それ説明できますよ」
などと、つい出しゃばってしまい、さっそく紙に図を描いて説明しました。
そうしたら、その社会科の先生は、
「ああ、今日はスッキリした」
と、大きな声を上げて満足していました。

ここで次回のために、思考実験を提示しておきます。
「１＋１＝２」
が納得できなくて学校を辞めた偉人が少なくとも二人います。
みなさんもご存じですよね。
そうです、ピカソとエジソンです。
では、なぜ二人は納得できなかったのでしょうか？


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